BOETIUS. DE ARITHMETICA.

PRAEFATIO.

In dandis accipiendisque muneribus, ita recte officia, praecipue inter eos qui sese magnifaciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud quod liberalius afferret inventum, nec ab illo unquam, quod jucundius benevolentia complecteretur acceptum. Haec ipse considerans, attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius est, cum habendi sitis incanduit. Ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subjecit, sed ea quae ex Graecarum opulentia litterarum, in Romanae orationis thesaurum sumpta conveximus. Ita enim mei quoque operis mihi ratio constabit, si quae ex sapientiae doctrinis elicui, sapientissimi judicio comprobentur. Vides igitur ut tam magni laboris effectus, tuum tantum exspectet examen, nec in aures prodire  [1079B] publicas, nisi doctae sententiae astipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio. Suis quippe instrumentis res rationis expenditur, cum judicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo, non eadem quae caeteris imminent artibus munimenta constituo. Neque enim fere ulla, sic cunctis absoluta partibus, nullius indiga, suis tantum est scientia nixa praesidiis, ut non caeterarum quoque artium adjumenta desideret. Nam in effigiandis marmore statuis, alius excidendae molis labor est, alia formandae imaginis ratio. Nec ejusdem artificis manus, politi operis nitor exspectat. Ac depingendae manibus tabulae commissae fabrorum, caerae rustica observatione decerptae, colorum fuci mercatorum solertia perquisiti,  [1079C] lintea operosis elaborata textrinis, multiplicem materiam praestant. Nonne idem quoque in bellorum visitur instrumentis? Hic spicula sagittis exacuit, illi validus thorax nigra gemit incude. Ast alius crudi umbonis tegmina, proprii laboris orbi infigenda mercatur, tam multis artibus ars una perficitur. Ast nostri laboris absolutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu enim solus manum supremo operi impones, in quo nihil de decernentium necesse est laborare consensu. Quamlibet  [1080A] enim hoc judicium multis artibus probetur excultum, uno tamen cumulatur examine. Experiare igitur licet quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis labor adjecerit. An rerum subtilium fugas exercitatae mentis velocitas comprehendat? Utrum jejunae macies orationis, ad ea quae sunt caligantibus impedita sententiis, expedienda sufficiat? Qua in re mihi alieni quoque judicii lucra quaeruntur, cum tu, utrarumque peritissimus litterarum, possis Graiae orationis expertibus, quantum de nobis judicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non alterius obnoxius institutis, arctissima memetipse translationis lege constringo, sed paululum liberius evagatus, alieno itineri, non vestigiis insisto. Nam et ea quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi. Et quae transcursa  [1080B] velocius angustiorem intelligentiae praestabant aditum, mediocri adjectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum, nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscet. Cum igitur quatuor matheseos disciplinarum, de arithmetica, quae est prima, praescriberem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque magis in errato opus esse intelligebam. Nam etsi apud te facilis venire locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode  [1080C] dicta, mira animi alacritate suscipias. Quae res impulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituent. Novi quippe quanto studiosius nostra quam caeterorum bona diligamus. Recte ergo quasi aureos Cereri culmos, et maturos Baccho palmites, sic ad te rudimenta novi operis transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus, ita et laboris mei primitias doctissimo judicio consecrabis, et non majore censebitur auctor merito quam probator.



LIBER PRIMUS.  

CAPUT PRIMUM. Divisio mathematicae. 

Inter omnes priscae auctoritatis viros qui, Pythagora duce, puriore mentis ratione viguerunt, constare  manifestum est haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadrivio vestigatur, quod recte solertiam intuentis non latebit. Est enim sapientia rerum quae sunt suique immutabilem substantiam sortiuntur comprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt, nec retractione minuuntur, nec variationibus permutantur, sed in propria semper vi, suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Haec autem sunt qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates, aequalitates, habitudines, actus, dispositiones, loca, tempora, et quidquid adunatum quodammodo corporibus invenitur. Quae ipsa quidem natura incorporea sunt, et immutabilis substantiae ratione vigentia, participatione vero corporis permutantur, et tactu variabilis rei, in vertibilem inconstantiam transeunt. Haec igitur (quoniam ut dictum est, natura immutabilem substantiam vimque sortita sunt) vere proprieque esse dicuntur. Horum igitur, id est, quae sunt proprie, quaeque suo nomine essentiae nominantur, scientiam, sapientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua, et suis partibus juncta, nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis, et omnia mundi hujus corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disjuncta a se, et determinata partibus, et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex, populus, chorus, acervus, et quidquid eorum quorum partes propriis extremitatibus terminantur, et ab alterius  fine discretae sunt. His, proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel tetragonus, vel quilibet numerus, qui, ut sit, nullo indiget. Alia vero per seipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesquialterum, vel sesquitertium, et quidquid tale est, quod nisi relatum sit ad aliud, ipsum esse non possit. Magnitudinis vero, alia sunt manentia, motuque carentia, alia vero, quae mobili semper rotatione vertuntur, nec ullis temporibus acquiescunt. Horum ergo, illam multitudinem quae per se est, arithmetica speculatur integritas. Illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt. Immobilis vero magnitudinis, geometrica notitiam pollicetur. Mobilis scientiam, astronomicae disciplinae  [1081C] peritia vindicavit. Quibus quatuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. Est enim sapientia earum rerum quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Quod haec qui spernit, id est, has semitas sapientiae, ei denuntio non recte philosophandum. Siquidem philosophia est amor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit. Illud quoque addendum arbitror quod cuncta vis multitudinis ab uno progressa termino, ad infinita progressionis augmenta concrescit. Magnitudo vero, a finita inchoans quantitate, modum in divisione non recipit. Infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infinitatem, indeterminatamque potentiam philosophia sponte  [1081D] repudiat. Nihil enim quod infinitum est vel scientia potest colligi, vel mente comprehendi. Sed hinc sumpsit sibi ipsa ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere solertiam. Delegit enim de infinitae multitudinis pluralitate, finitae terminum quantitatis, et interminabilis magnitudinis sectione rejecta, definita sibi ad cognitionem spatia depoposcit. Constat igitur quisquis haec praetermiserit, omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadrivium est, quo iis viandum sit, quibus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus, ad intelligentiae certiora perducitur. Sunt enim quidam gradus certaeque progressionum dimensiones, quibus ascendi progredique possit, ut animi illum oculum, qui (ut  [1082A] ait Plato) multis oculis corporalibus salvari constituique sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vel inspici veritas queat. Hunc, inquam, oculum demersum, orbatumque corporeis sensibus, hae disciplinae rursum illuminent. Quae igitur ex his prima discenda est, nisi ea quae principium matrisque quodammodo ad caeteras obtinet portionem? Haec autem est arithmetica. Haec enim cunctis prior est, non modo quod hanc ille hujus mundanae molis conditor Deus, primam suae habuit ratiocinationis exemplar, et ad hanc cuncta constituit, quaecunque fabricante ratione, per numeros assignati ordinis invenere concordiam; sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur. Quod si posteriora pereant, nihil de  [1082B] statu prioris substantiae permutatur, ut animal prius est homine. Nam si tollas animal, statim quoque hominis natura deleta sit. Si hominem sustuleris, animal non peribit. Et econtrario ea semper posteriora sunt quae secum aliud quolibet inferunt, ea priora quae, cum dicta sunt, nihil secum de posterioribus trahunt, ut in eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simul quoque animal nominabis. Idem est enim homo quod animal. Si animal dixeris, non speciem simul hominis intulisti. Non est enim idem animal quod homo. Hoc idem in geometrica vel in arithmetica videtur incurrere. Si enim numeros tollas, unde triangulum vel quadratum, vel quidquid in geometria versatur? quae omnia numerorum denominativa sunt. At vero, si quadratum triangulumque  [1082C] sustuleris, omnisque geometrica consumpta sit, tres et quatuor, aliorumque numerorum non peribunt vocabula. Rursum cum aliquam
geometricam formam dixero, est illi simul numerorum nomen implicitum Cum numeros dixero, nondum ullam formam geometricam nominavi. Musica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime probari potest, quod nor modo illa natura priora sunt, quae per se constant, quam illa quae ad aliquid referuntur, sed etiam et ipsa musica modulatio numerorum nominibus adnotatur. Et idem in hac evenire potest quod in geometrica praedictum est. Diatessaron enim et diapente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nuncupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se proportio, solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim  [1082D] sonus in diapason symphonia est, idem duplicis numeri proportione colligitur. Quae diatessaron est modulatio, epitrita collatione componitur. Quam diapente symphoniam vocant, hemiolia medietate conjungitur. Qui in numeris epogdous est, idem tonus in musica. Et ne singula persequi laborem, hujus operis sequentia, quanto prior sit arithmetica, sine ulla dubitatione monstrabunt. Sphaericam vero atque astronomicam tanto praecedit, quanto duae reliquae disciplinae hanc tertiam natura praecedunt. In astronomica enim, circuli, sphaera, centrum, parallelique circuli, mediusque axis est, quae omnia geometricae disciplinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere seniorem geometricae vim, quod omnis motus est post quietem,  [1083A] et natura semper statio prior est. Mobilium vero astronomica, immobilium geometrica doctrina est, vel quod harmonicis modulationibus motus ipse celebratur astrorum. Quare constat quoque musicae vim, astrorum cursus antiquitate praecedere, quam superare natura arithmeticam dubium non est, cum prioribus, quam illa est, antiquior videatur. Proprie tamen ipsa numerorum natura, omnis astrorum cursus, omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est, hinc disputationis sumamus exordium.



CAPUT II. De substantia numeri.  [1083B] 

Omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar. Hinc enim quatuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum vices, hinc motus astrorum, coelique conversio. Quae cum ita sint, cumque omnium status numerorum colligatione fungatur, eum quoque numerum necesse est, in propria semper sese habentem aequaliter substantia, permanere, eumque compositum non ex diversis. Quid enim numeri substantiam conjungeret, cum ipsius exemplum cuncta junxisset? sed ex seipso videtur esse compositus. Porro autem nihil ex similibus componi videtur, nec ex his quae nulla rationis proportione junguntur,  [1083C] et a se omni substantia naturaque discreta sunt. Constat ergo quoniam conjunctus est numerus, neque ex similibus esse conjunctum, neque ex his quae ad se invicem nulla ratione proportionis haerent. Erunt ergo, numeros, prima quae conjungant, ad substantiam quidem quae constent, semperque permaneant. Neque enim ex non existentibus effici quidquam potest, et sunt ipsa dissimilia et potentia componendi. Haec autem sunt quibus numerus constat, par atque impar. Quae divina quadam potentia cum disparia sint contrariaque, tamen ex una genitura profluunt, et in unam compositionem modulationemque junguntur.



CAPUT III. De diffinitione et divisione numeri, et diffinitione paris et imparis.  [1083D] 

Et primum quid sit numerus diffiniendum est. Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Hujus igitur prima divisio est in imparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercidente. Impar vero quem nullus in aequalia dividit, quin in medio praedictus unus intercidat. Et haec quidem hujusmodi diffinitio vulgaris est et nota.



CAPUT IV. Diffinitio numeri paris et imparis secundum Pythagoram.

Illa autem secundum Pythagoricam disciplinam alis est. Par numerus est, qui sub eadem divisione  [1084A] potest in maxima parvissimaque dividi. Maxima spatio, parvissima quantitate, secundum duorum istorum generum contrarias passiones. Impar vero numerus est, cui hoc quidem accidere non potest, sed cujus in duas inaequales summas naturalis est sectio. Hoc est autem exemplar. Ut si quilibet fatus par numerus dividatur, major quidem (quantum ad divisionis spatia pertinet) non invenietur quam discreta medietas; quantitate vero nulla minor sit, quam in gemina facta partitio, ut si par numerus qui est 8, dividatur in 4 atque alios 4, nulla erit alia divisio, quae majores partes efficiat. Porro autem nulla erit alia divisio quae totum numerum minore dividat quantitate. In duas enim partes divisione, nihil minus est. Cum enim totum quis fuerit trina divisione partitus, spatii  [1084B] quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur. Quod autem dictum est, secundum duorum generum contrarias passiones, hujusmodi est. Praedocuimus enim quantitatem in infinitas pluralitates accrescere, spatia vero, id est magnitudines, in infinitissimas minui parvitates, atque ideo hic contra evenit; haec namque paris divisio, spatio est maxima, parvissima quantitate.



CAPUT V. Alia secundum antiquiorem modum diffinitio paris et imparis.

Secundum antiquiorem vero modum, alia est paris numeri definitio. Par numerus est qui in duo aequalia, et in duo inaequalia partitionem recipit, sed  [1084C] ut in neutra divisione, vel imparitati paritas, vel paritati imparitas misceatur, praeter solum paritatis principem binarium numerum, qui inaequalem non recipit sectionem, propterea quod ex duabus unitatibus constat, et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos. Porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in 3 et in 7. Sed hoc modo, ut cum una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una impar, reliqua ab ejus imparitate non discrepet, ut in eodem numero qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel cum in 3 et in 7 utraeque in utraque portione partes, impares exstiterunt. Si autem ipse vel alius numerus par dividatur in  [1084D] aequales, ut octonarius in 4 et in 4, et item per inaequales, ut idem octonarius in 5 et in 3, in illa quidem divisione utraeque partes pares factae sunt, et in hac utraeque impares exstiterunt. Neque unquam fieri potest, ut cum una pars divisionis par fuerit, alia impar inveniri queat, aut cum una impar sit, alia par possit intelligi. Impar vero numerus est qui ad quamlibet illam divisionem, per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, imparitati alia deputatur, ut 7 si dividas in 3 et in 4, altera portio par, altera impar est. Et hoc idem in cunctis imparibus numeris invenitur. Neque unquam in imparis divisione, praeter se esse possunt  [1085A] hae geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componunt.



CAPUT VI. Diffinitio paris et imparis per alterutrum.

Quod si haec etiam per alterutras species diffinienda sunt, dicetur imparem numerum esse, qui unitate differt a pari, vel incremento, vel diminutione. Item par numerus est, qui unitate differt ab impari, vel incremento, vel diminutione. Si enim pari unum dempseris vel unum adjeceris, et impar efficitur, vel si impari idem feceris, par continuo procreatur.



CAPUT VII. De principalitate unitatis.

Omnis quoque numerus circum se positorum et naturali sibimet dispositione junctorum medietas  [1085B] est. Et qui super duos illos sunt, qui medio junguntur, si componantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est, et rursus illorum qui sunt super secundo loco junctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit usque dum occurrens unitas terminum fecerit. Ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt, supra 4, inferius 6. Hi ergo si juncti sunt, faciunt 10, quorum 5 numerus medietas est. Qui autem circa ipsos, id est circa 6 et 4 sunt, 3 scilicet et 7; idem si juncti sunt, eorum quinarius numerus medietas est. Rursus istorum, qui altrinsecus positi sunt, si jungantur, etiam hi quinarii numeri dupli sunt. Nam super 3 sunt 2, super 7 sunt 8. Hi ergo si juncti sunt faciunt 10, quorum quinarius rursus  [1085C] medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usque dum ad unitatis terminum perveniri queat. Sola enim unitas circum se duos terminos non habet, atque ideo ejus, qui est prope se, solius est medietas. Nam juxta unum solus est binarius naturaliter constitutus, cujus unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem, cunctorum qui sunt in naturali dispositione numerorum, et etiam rite totius quamvis prolixae, genitricem pluralitatis agnosci.



CAPUT VIII. Divisio paris numeri

Paris autem numeri species sunt 3. Est enim una quae dicitur pariter par, alia vero pariter impar, tertia impariter par. Et contraria quidem, locaque obtinentia summitatum, videntur esse pariter par, et pariter  [1085D] impar. Medietas autem quaedam quae utrorumque participat, est numerus qui vocatur impariter par.



CAPUT IX. De numero pariter pari ejusque proprietatibus.

Pariter par numerus est qui potest in duo paria dividi, ejusque pars in alia duo paria, partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usque dum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut 64 numerus habet medietatem 32, hic autem medietatem 16, hic vero 8, hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est, sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis, non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque ejus fuerit pars,  [1086A] cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur, tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod ejus omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est. Ab uno enim quoscunque in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter, impossibile est. Hujus autem rei tale videtur per ordinem descriptionis exemplum. Sint itaque cuncti duplices ab uno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, atque hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies. Factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem  [1086B] non minima consideratione dignum est, quod ejus omnis pars, ab una parte quacunque quae intra ipsum numerum est denominatur, tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris, illius qui eum continet quantitatis. Itaque fit ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantam in priore summam necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat donec uterque
terminus extremitates incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo, ab uno usque 128, hoc modo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, et ea sit summa maxima. In hoc igitur  [1086C] quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est 8 et 16, quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est 128, octava pars est 16, sexta decima 8. Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt, id est 32 et 4. Nam 32 quarta pars est totius summae, 4 vero trigesima secunda. Rursus super has partes 64, secunda pars est, 2 vero sexagesima quarta. Donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa, semel 128, unus vero, centesimus vigesimus octavus. Si autem impares terminos ponamus, id est summas (idem enim terminos, quod summas, nomino), secundum imparis naturam, potest una medietas inveniri,  [1086D] atque una sibi ipsa est responsura. Si enim ponatur hic ordo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, una erit sola medietas, id est 8. Qui 8 summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eodemque modo, sicut superius, circa ipsum qui sunt termini, donant sibi mutua nomina, secundum proprias quantitates, vocabulumque permutant. Nam 4 sexta decima pars est totius summae, 16 vero quarta. Et rursus super hos terminos, 32 secunda pars est totius summae, 2 vero trigesima secunda, et semel tota summa 64 sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igitur est quod dictum est, omnes ejus partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri. Hoc quoque multa consideratione,  [1087A] multaque constantia divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc numero et super seipsas coacervatae sequenti minus uno semper aequentur. Si enim unum jungas his qui sequuntur duobus, fiunt 3, id est, qui uno minus quaternario cadunt. Et si superioribus addas 4, sunt 7, qui ab octonario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem 8 supradictis adjunxeris, 15 fient, qui par 16 numeri existeret quantitati, nisi minor unitas impediret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior. Unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit, in his numeris cognoscendis  [1087B] quos superfluos vel imminutos imperfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino comparatur. Illud quoque nulla possumus oblivione transmittere, quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis, major extremitas ejusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones, medii multiplicantur, atque inde qui super ipsos sunt, usque ad supradictos extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones, secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum in qua extremus terminus 128 finitur. In hoc enim numero medietates sunt 8, scilicet, et 16 quae in se multiplicatae majoris summam crescente pluralitate conficient. Octies enim 16, vel sedecies 8  [1087C] si multiplices, 128 summa concrescit. Atque hi numeri qui super eosdem sunt, si multiplicentur idem faciunt. Nam 4 et 32 in se si multiplices, supradictam facient extremitatem, 4 enim trigies et bis, vel quater 32 ducti, 128 immutabili necessitate complebunt. Atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est 1 et 128. Semel enim extremus terminus 128 est. Centies vigies atque octies unitate multiplicata, nihil de priore quantitate mutabitur. Si autem impares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus 64 pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est 8. Quam si octies, id est in semetipsam multiplices 64 explicabit. Atque idem reddunt  [1087D] illi qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi qui super duas positi faciebant. Nam quater 16, 64 sunt, et sedecies 4 idem complent. Rursus bis 32, facti a 64 non discedunt, et trigies bis duo, eosdem cumulant, et semel 64, vel unitas sexagies quater multiplicata, eumdem numerum sine ulla varietate restituent.



CAPUT X. De numero pariter impari ejusque proprietatibus.

Pariter autem impar numerus est qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione, naturae numeri pariter paris opponitur. Docebitur namque quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in  [1088A] partes aequales recipit sectionem, partes vero ejus mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt 6, 10, 14, 18, 22, et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in imparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium quae denominantur. Neque unquam fieri potest ut quaelibet pars hujus numeri ejusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas partis erit impar, et si fuerit denominatio impar, quantitas erit par, ut in 18. Secunda ejus pars est, id est media, quod paritatis nomen est 9, quae impar est quantitas. Tertia vero quae impar est denominatio sex, cui par pluralitas  [1088B] est. Rursus si convertas, sexta pars quae par est denominatio, tres sunt, sed ternarius impar est. Et nona pars, quod impar est vocabulum, 2 qui par numerus est. Atque idem in aliis cunctis qui sunt pariter impares
invenitur. Neque unquam fieri potest, ut cujuslibet partis, sit ejusdem generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus imparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter impares, rite pluralitas dimensa efficiet. Ponatur enim prima unitas, id est 1, et post hanc qui ab hac duobus differt, id est 3, et post hunc qui rursus a superiore duobus, id est 5, et hoc in infinitum. Et sit hujusmodi dispositio  [1088C] 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Hi ergo naturaliter sequentes impares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit: hos si per binarium numerum multiplices, efficies hoc modo, bis unum, id est qui dividitur quidem, sed ejus partes indivisibiles reperiuntur propter insecabilis unitatis naturam. Bis 3, bis 5, bis 7, bis 9, bis 11, et deinceps, ex quibus nascuntur hi, 2, 6, 10, 14, 18, 22. Quos si dividas, unam recipiunt sectionem, caeteram repudiantes, quod secunda divisio ab imparis medietate partis excluditur. His autem numeris ad se invicem quaternarii sola distantia est. Namque inter 2 et 6 numeros, 4 sunt. Rursus inter 6 et 10, et inter 10 et 14, et inter 14 et 18, idem quaternarius differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate  [1088D] transcendunt. Quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, hoc est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa progressio. Duo enim per bis multiplicati quaternarii faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione, pariter impares numeri quinto loco a se distant, solis 4 se praecedunt, 3 in medio transeuntes, per binarium numerum multiplicatis imparibus, procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par, et pariter impar, quod in numero pariter impari sola divisionem recipit major extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri  [1089A] ab extremitatibus incipienti, et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi quod continetur sub intra se positis summulis. Atque hoc idem usque dum ad duas medietates fuerit ventum, in dispositionibus scilicet paribus. Si autem fuerint impares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur. Atque hoc usquedum ad extremitates processio fiat. In ea enim dispositione quae est 2, 4, 8, 16, idem reddunt 2 per 16 multiplicati, quod 4 per octonarium numerum ducti. Utroque enim modo 32 fient. Quod si impar sit ordo, ut est 2, 4, 8, idem facient extremi quod medietas. Bis enim 8 sunt 16, quatuor quater sunt 16, qui numerus a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter  [1089B] impari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminorum si in unum redigantur medietas est. Et idem eorum quoque qui super hos sunt terminos medietas est. Atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine qui est pariter imparium numerorum 2, 6, 10, junctus binarius cum denario 12 explet, cujus senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates junctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis. Ut est in hoc ordine, 2, 6, 10, 14. Juncti enim 2 et 14, in 16 crescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit, usque dum ad extrema veniatur.



CAPUT XI. De numero impariter pari ejusque proprietatibus, et descriptionis ad impariter paris, in latitudine, in longitudine, ad pariter paris naturam pertinentis, expositio.  [1089C] 

Impariter par numerus est ex utrisque confectus, et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut qua ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione jungatur. Hic autem talis est qui dividitur in aequas partes, cujusque pars in alias aequas dividi potest, et etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non ut usque ad unitatem progrediatur aequabilis illa distinctio, ut sunt 24 et 28. Hi enim possunt in medietates dividi, et eorum rursus partes in  [1089D] alias medietates, sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo quod plus quam unam suscipit sectionem, habet similitudinem pariter paris, sed a pariter impari segregatur. In eo vero quod usque ad unum sectio illa non ducitur, pariter imparem non refutat, sed a pariter pari disjungitur. Contingit autem huic numero et utraque habere quae superiores non habent, et utraque quae illi recipiunt obtinere. Et habet quidem quod utrique non habent, quod cum in uno solus major terminus divideretur, in alio vero solus minor terminus non divideretur, in hoc neque solus major terminus divisionem recipit, neque minor solus terminus a divisione sejungitur. Nam et partes solvuntur, et usque ad unitatem  [1090A] sectio illa non pervenit, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obtinet autem quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes ejus respondent, denominanturque secundum genus suum ad propriam quantitatem, ad similitudinem, scilicet pariter paris numeri. Aliae vero partes contrariam denominationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter imparis
scilicet formam. In 24 enim numero, par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta 6, secunda vero 12, sexta vero 4, duodecima 2, quae vocabulo partium a quantitatis paritate non discrepant. Contrariae vero denominantur, cum tertia pars octo, octava vero 3, vigesima autem quarta 1, quae denominationes cum pares sint inveniuntur  [1090B] impares quantitates, et cum sint pares summae, sunt impares denominationes. Nascuntur autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipsa etiam propria generatione designent, ex pariter paribus et pariter imparibus procreati. Pariter enim impares, cunctis dudum ordinatim positis imparibus, nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressione. Disponantur igitur omnes in ordinem naturaliter impares, et sub his a quatuor inchoantes omnes duplices, et sint hoc modo: (figura)  His igitur ita positis, si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est octonarii ternarius, vel si  [1090C] idem primus tertii, id est 16 ternarius, et idem usque ad ultimum, vel si secundus primi et secundi, vel si secundus tertii, et eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat. Atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes impariter pares procreabunt. Hujus autem rei tale sumamus exemplum, si tres quater multiplices, 12 fient; vel si 5 quatuor multiplicent, 20 numerus excrescet; vel si item 7 multiplicent 4, 28 succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus si 8 multiplicent 3, nascentur 24. Si 8 in 5, fiunt 40; si 8 in 7, colligentur 56. Atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices, in superioribus  [1090D] multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos qui nati fuerint impariter pares invenies. Atque haec est admirabilis hujus numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter imparium, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim in latitudinem duabus medietatibus aequales duae extremitates, vel una medietate duae duplices extremitates. In longitudinem vero, pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem quae supposita est, hoc modo facta est. Quantoscunque in ordine pariter parium numerorum  [1091A] ternarius multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt versu dispositi. Rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco constituti sunt. Post vero quos septenarius caeteros multiplicando procreavit, eosdem tertio conscripsimus loco, atque idem reliqua descriptionis parte perfecimus.

In hac formula sequenti, similitudo pariter paris et pariter imparis, ad impariter parem, ostenditur. (figura)


CAPUT XII. Descriptionis ad impariter paris, in latitudine, in longitudine, ad pariter paris naturam pertinentis expositio.  [1091C] 

Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est. Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos jungas, duplos eos medietate propria reperies, ut 36 et 20 faciunt 56, quorum medietas est 28, qui medius est inter eos terminus constitutus. Et rursus 28 et 12, si jungas, faciunt 40, quorum 20 medietas, medius eorum terminus invenitur. At vero ubi duas medietates habent,  [1091D] utraeque extremitates junctae, utrisque medietatibus aequales fiunt, ut 12 et 36 cum junxeris fiunt 48, horum si medietates sibimet applicaveris, id est 20 et 28, idem erit, atque in alia parte latitudinis, eodem ordine qui fiant numeri, notati sunt. Neque ulla in re ratio utrisque latitudinis discrepabit, idemque in eodem ordine in caeteris numeris pernotabis, et hoc secundum formam pariter imparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra jam scriptum est. Rursum si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit si medius terminus suae capiat pluralitatis augmenta. Nam duodecies 48 faciunt 576. Medius vero eorum terminus, id est 24, si multiplicetur, eosdem rursus 576 procreabit. Et rursus si 24 in 96 multiplicentur, faciunt 2304. Quorum medius  [1092A] terminus, id est 48, si in semetipsum ducatur, idem 2304 procreatur. Ubi autem termini duo duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim 96 multiplicatis 1152 procreantur, duae vero eorum medietates, id est 24 et 48, si in semetipsas multiplicentur, eosdem 1152 restituent. Atque hoc est, ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei recognoscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis, eadem ratio descriptioque notata est. Quare manifestum est hunc numerum ex prioribus duobus esse procreatum, quoniam eorum retinet proprietates.



CAPUT XIII. De numero impari ejusque divisione  [1092B] 

Impar quoque numerus est, qui a paris numeri natura substantiaque disjunctus est. Siquidem ille in gemina membra aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis impedit interventus. Tres habet similiter subdivisiones, quarum una ejus pars est is numerus qui vocatur primus et incompositus. Secunda vero, qui est secundus et compositus. Et tertia is qui quadam horum medietate conjunctus est, et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus, primus et incompositus invenitur.



CAPUT XIV. De primo et incomposito.  [1092C] 

Et primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet, nisi eam quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. In his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra jam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas. Eodemque modo quinarii sola quinta pars est, et haec unitas, atque idem in singulis consequens reperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus  [1092D] metiatur, praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium 2 non numerant, idcirco quoniam si solos duos contra tres compares, pauciores sunt. Sin vero binarium bis facias, ampliorem tribus concrescit in 4. Metitur autem numerus numerorum, quoties vel semel, vel bis, vel tertio, vel quotieslibet numerus ad numerum comparatus, neque diminuta summa, neque aucta, ad comparati numeri terminum usque pervenit, ut duo si ad 6 compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur, praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semetipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus 3, et quinquies unus 5, et septies unus 7 fecerunt. Et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo  [1093A]  nascuntur. Hi autem in semetipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos, cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa reperies, quia scilicet, et incompositi sunt, et simplici generatione formati, atque in eos omnes quicunque ex his prolati sunt numeri resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur, neque in alia reducuntur.



CAPUT XV. De secundo et composito.

Secundus vero et compositus, et ipse quidem impar est, propterea quod eadem imparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem, compositusque est ex aliis numeris, habetque partes, et a seipso et ab alieno vocabulo denominatas,  [1093B] sed a se ipso denominatam partem, solam semper in his invenies unitatem, ab alieno vero vocabulo, vel unam, vel quodlibet alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus ille compositis procreatur, ut sunt hi, 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39. Horum ergo singuli habent quidem a se denominatas partes, proprias scilicet unitates, ut 9, nonam, id est 1; 15, quintam decimam, eamdem rursus unitatem, et in caeteris quos supra descripsimus idem convenit. Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut 9, tertiam, id est ternarium, et 15, tertiam, id est 5, et quintam, id est, 3; 21 vero tertiam, id est 7, septimam, 3, et in omnibus aliis eadem consequentia est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur, sed etiam alio numero a quo scilicet conjunctus est.  [1093C] Neque habet in se quidquam principalis intelligentiae. Nam ex aliis numeris procreatur, 9 quidem ex 3, 15 vero ex 3 et 5, et 21 ex 3 et 7, et caeteri eodem modo. Compositus autem dicitur, eo quod resolvi potest in eosdem ipsos a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem quod dissolvi potest incompositum est, sed omni rerum necessitate compositum.



CAPUT XVI. De eo qui per se secundus et compositus, ad alium primus et incompositus est.

His vero contra se positis, id est primo et incomposito, et secundo et composito, et naturali diversitate disjunctis, alius in medio consideratur, qui ipse  [1093D] quidem compositus sit, et secundus, et alterius recipiens mensionem, atque ideo, et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium ejusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura conjungitur, nec habebunt partes aequivocas, ut sunt 9 ad 25, nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in 9 tertia est, in 25 non est, et quae in 25 quinta est, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas quae ab utrisque denominata  [1094A] est. Nam in novenario nona est, in 25 vigesima quinta.



CAPUT XVII. De primi et incompositi, secundi et compositi, et ad se quidem secundi et compositi, ad alterutrum vero primi et incompositi procreatione.

Generatio autem ipsorum atque ortus hujusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis imparibus in medio collocatis, per eam quam tradituri sumus artem, qui primi, quive secundi, quique tertii generis videantur esse, distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem impares, in quamlibet longissimam porrectionem, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41,  [1094B] 43, 45, 47, 49. His igitur ita dispositis considerandum primus numerus quem eorum qui sunt in ordine positi primum metiri possit, sed duobus praeteritis, illum qui post eos est positus, mox metitur. Et si post eumdem ipsum quem mensus est, alii duo transmissi sunt, illum qui post duos est rursus metitur. Et eodem modo si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est. Eodemque modo relictis semper duobus, a primo in infinitum pergentes metientur. Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus numerus illum qui est post duos secundum se locatos per suam quantitatem metitur. Ternarius enim numerus tertio 9 metitur. Si autem post novenarium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est, per secundi imparis  [1094C] quantitatem, id est per quinarium. Nam si post 9 duos relinquam, id est, 11 et 13, ternarius numerus 15 metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius 15 quinquies metitur. Rursus si, a quindenario inchoans, duos intermisero, qui posterior positus est, ejus primus numerus, mensura est per tertii imparis pluralitatem. Nam si post 15 intermisero 17 et 19, incurrit 21, quem ternarius numerus secundum septenarium metitur, 21 enim numeri ternarius septima pars est. Atque hoc in infinitum faciens, reperio primum numerum, si binos intermisero, omnes sequentes post se metiri secundum quantitatem positorum ordine imparium numerorum. Si vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis cujus prima  [1094D] ac deinceps sit mensura invenire, transmissis 4 imparibus, quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim 4 impares, id est 7 et 9 et 11 et 13, post hos est quintus decimus, quem quinarius metitur, secundum primi scilicet quantitatem, id est ternarii, quinque enim 15, tertio metiuntur. Ac deinceps si quatuor intermittat, eum qui post illos locatus est, secundus, id est quinarius sui quantitate metitur. Nam post quindecim intermissis 17 et 19 et 21 et 23, post eos 25 reperio, quos quinarius scilicet numerus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato, 25 succrescunt. Si vero post hunc quilibet 4 intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, idest septenarii  [1095A] numeri summam, a quinario metietur. Atque haec est infinita processio. Si vero tertius numerus quem metiri possit exquiritur, sex in medio relinquentur, et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est, ternarii quantitatem metiendus est. Et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numeri series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Si vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ille qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendus est, id est per tertii quantitatem. Atque hic usque in extremum ratus ordo progreditur. Suscipient ergo metiendi vicissitudinem, quemadmodum sunt in ordinem naturaliter impares constituti. Metientur  [1095B] autem, si per pares numeros a binario inchoantes, positos inter se impares rata intermissione transiliant, ut primus 2, secundus 4, tertius 6, quartus 8, quintus 10. Vel si locos suos conduplicent, et secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui primus est numerus et unus (omnis enim primus, unus est), bis locum suum multiplicet, faciatque bis unum. Qui cum duo sint, primus duos medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, 4 explicabit: hic quoque 4 intermittat. Item si septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit: bis enim 3 senarium jungunt; hic ergo in ordinem sex relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, 8 succrescent:  [1095C] ille quoque 8 transiliat; atque hoc quidem in caeteris perspiciendum. Modum autem mensionis secundum ordinem collocatorum ipsa series dabit. Nam primus, primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se, et secundum primus quem numerat, per secundum numerat, et tertium per tertium, et quartum item per quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit, primum, quem numerat, secundum primum metitur, secundum vero quem numerat, per se, id est per secundum, et tertium per tertium, et in caeteris eadem similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias, vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam  [1095D] alium simul numerent, quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur, alios vero ut etiam a pluribus, quosdam autem ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos judicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem, vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione reperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semetipsos multiplices quantitatem, qui procreantur ad alterutrum comparati, nulla mensura communione junguntur. Tres enim et 5 si multiplices, tres tertio 9 faciunt, et quinquies 5 reddent 25. His igitur nulla  [1096A] est cognatio communis mensurae. Rursus 5 et 7, quos procreant si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quinquies enim quinque (ut dictum est) 25, septies 7 faciunt 49. Quorum mensura nulla communis est, nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas.



CAPUT XVIII. De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt, ad alios vero relati, primi et incompositi.


Qua vero ratione tales numeros invenire possimus, si quis nobis eosdem proponat, et imperet agnoscere utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, reperiendi ars  [1096B]  talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de majore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si major est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo majore detrahere. Atque hoc eo usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis impediat, aut aliquis numerus impar necessario, si utrique numeri impares proponantur. Sed eum qui relinquitur numerum, sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur, et nulla alia mensura nisi sola unitate conjuncti. Si vero ad aliquem numerum (ut superius dictum est) finis diminutionis incurrerit, erit ejus numerus qui metiatur utrasque summas, atque eumdem  [1096C] ipsum qui remanserit dicemus utrorumque communem esse mensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos jubeamur agnoscere an eos aliqua mensura communis metiatur. Atque hi sint 9 scilicet et 29, hoc igitur faciemus modo reciprocam diminutionem. Auferamus de majore minorem, hoc est de 29 novenarium, relinquentur 20. Ex his ergo 20 rursus minorem detrahamus, id est 9, et relinquentur 11. Ex his rursus detraho 9, relicti sunt 2. Quos si detraho novenario, et relicti sunt 7. Quod si duo rursus septenario dempserim, supersunt 5, atque ex his alios duos, tres rursum exuberant, quos alio binario diminutos, sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam, in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum  [1096D] numerorum, id est 9 et 29, solum neque alium constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus. Sed sint alii numeri nobis eadem conditione propositi, id est 21 et 9, ut quales hi sint investigentur cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de majore minoris numeri quantitatem, id est 9 de 21, relinquentur 12. Ex his rursus demo 9, supersunt 3. Qui si ex novenario retrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, 3 relinquentur, de quibus tres detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam 3 qui detrahebantur, usque ad ternarium numerum pervenerunt, a quo, quoniam aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus, et est eorum qui est reliquus ternarius mensura communis.



CAPUT XIX. Alia partitio paris secundum perfectos, imperfectos et ultra quam perfectos.  [1097A] 

Ac de imparibus numeris, quantum introductionis permittebat brevitas, expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii diminuti, secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas, aut in majoribus, aut in minoribus consideratur. Illi enim immoderata quodammodo plenitudine, proprii corporis modum, partium suarum numerositate praecedunt. Illos autem veluti paupertate inopes oppressosque, quadam naturae suae inopia, minor quam ipsi sunt partium summa componit, atque illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese porrexerunt,  [1097B] superflui nominantur, ut sunt 12 vel 24. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas 6, pars tertia 4, pars quarta 3, pars sexta 2, pars duodecima 1 est. Omnisque hic cumulus redundat in 16, et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rursus 24 numeri medietas est 12, tertia 8, quarta 6, sexta 4, octava 3, duodecima 2, vicesima quarta 1, qui omnes triginta et sex rependunt. In qua re manifestum est quod summa partium major est, et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem quoniam compositae partes totius summam numeri vincunt, superfluus appellatur. Diminutus vero ille, cujus eodem modo compositae partes totius termini multitudine superantur, ut 8 vel 9: habet  [1097C] enim octonarius partem mediam, id est 4; habet et quartam, id est duo; habet et octavam, id est unum, quae cunctae in unum redactae 7 colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus 14 habent medietatem, id est septenarium; habent septimam, id est 2; habent quartam decimam, id est 1, quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa concrescit, toto scilicet termino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille quem suae partes superant talis videatur, tanquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus Gigas, vel triplici conjunctus corpore, ut Geryon tergeminus, vel quidquid unquam monstruosum natura in partium multiplicatione surripuit. Ille vero ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta, aut  [1097D] minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro, naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur. Inter hos autem, velut inter aequales intemperantias, medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione  porrigitur, nec contracta rursus diminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum, suis aequus partibus, nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut sex vel 28. Namque senarius habet partem mediam, id est 3, et tertiam, id est 2, et sextam, id est 1, quae in unam summam si redactae sint, par totum numeri corpus suis partibus invenitur. 28 vero habet medietatem 14, et  [1098A] septimam 4, nec caret quarta, id est 7, possidet quartam decimam 2, et reperies in eo vicesimam octavam 1, quae in unum redactae, totum partibus corpus aequabunt, 28 enim junctae partes efficient.



CAPUT XX. De generatione numeri perfecti.

Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros raro invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati; at vero superfluos ac diminutos longe multos infinitosque reperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri, intra denarium numerum 6, intra centenarium 28, intra millenarium numerum 496, intra decem  [1098B] millia 8128. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in hos numeros, summarum fines perveniunt. Nam et primum sex, deinde 28. Post hos 496, idem senarius qui primus, post quem 8128, idem octonarius qui secundus. Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, nec quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum aggregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius aggregaveras. Si vero coacervatione facta, primus et incompositus non inventus fuerit, sed compositus et secundus, hunc  [1098C]  transgredere, atque alium qui sequitur aggregabis. Si vero necdum fuerit primus et incompositus, alium rursus adjunge, et vide quid fiat. Quod si primum incompositumque reperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeri, hoc modo: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Facies ergo ita: pones 1, eique aggregabis 2; tunc respicies ex hac aggregatione qui numerus factus sit: sunt 3, qui scilicet primus et incompositus est, et post unitatem ultimum binarium numerum aggregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus aggregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim 3 faciunt 6, qui habent unam quidem a se denominatam  [1098D] partem, id est sextam, tres vero medietatem secundum dualitatem, at vero duo secundum coacervationem, id est secundum ternarium, quoniam coacervati tres, multiplicati sunt. Viginti octo autem eodem modo nascuntur. Si enim super unum et duo, qui sunt tres, addas sequentem pariter parem, id est 4, septenariam summam facies; sed ultimum numerum quaternarium consequenter adjunxeras; per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim 4, 28 sunt, qui est suis partibus par, habens unum a se denominatum, id est vigesimum octavum; medietatem vero secundum binarium 14, secundum quaternarium 7, septimam vero secundum septenarium 4, secundum  [1099A] omnium collectionem, quartum decimum, duo, qui vocabulo medietatis opponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim unum licebit, et post hunc 2 et 4, qui in septenarium cumulantur, sed de hoc dudum exstitit 28 perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par, id est 8, continens jungatur accessio, qui prioribus superveniens, 15 restituit. Sed hic primus et incompositus non est. Habet enim generis alterius partem super illam, quae est a semetipsa denominata, quintam decimam, scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est compositus praeterito, et adjunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est 16. Qui cum 15 junctus, unum ac 30 conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi aggregati summa  [1099B] multiplica, ut fiant sedecies 31, qui 496 explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta, et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia, non etiam actu vel re, et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per seipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim unum solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, caeteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita, et per seipsam multiplicata sese ipsa conservat. Sed quoniam de ea quantitate quae per se sit dictum est, operis sequentiam ad illam quae refertur ad aliquid transferamus.


CAPUT XXI. De relata ad aliquid quantitate.  [1099C] 

Ad aliquid vero quantitatis, duplex est prima divisio. Omne enim, aut aequale est, aut inaequale, quidquid alterius comparatione metitur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum, neque minore summa infra est, neque majore transgreditur, ut denarius denario, vel ternarius ternario, vel cubitum cubito, vel pes pedi, et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est, aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim dicere potest quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero hujusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione  [1099D] mensuram. Illud etiam quod quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa cui comparatur edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali. Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in majus atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque majus minore majus est, et minus majore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet, vel docentis, vel caedentis, vel vapulantis, vel quaecunque ad aliquid relata, aliter denominatis contrariis comparantur.



CAPUT XXII. De speciebus majoris inaequalitatis et minoris.  [1100A] 

Majoris vero inaequalitatis quinque partes sunt. Est enim una quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque majoris partibus, oppositae sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum majus minori semper opponitur, quae minoris species, ita singillatim specibus quinque majoris his quae supradictae sunt opponuntur, ut eisdem nominibus nuncupentur, sola tantum sub praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, multiplex subsuperparticularis, et multiplex subsuperpartiens.



CAPUT XXIII. De multiplici ejusque speciebus, earumque generationibus.  [1100B] 

Rursus multiplex est prima pars majoris inaequalitatis, cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabimus. Hic autem numerus hujusmodi est, ut comparatus cum altero, illum contra quem comparatus est, habeat plus quam semel. Quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet, namque ad unum cuncti qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, 2 duplus, 3 triplus, 4 quadruplus, atque ita in ordinem progredientes, omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est, plus quam semel, id a binario  [1100C] numero principium capit, et in infinitum per ternarium quaternariumque, et caeterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discriminatus est ille qui vocatur submultiplex, et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem numerus hujusmodi est, qui in alterius comparatione productus, plus quam semel majoris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans, aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat quod metitur. Si igitur bis solum majorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter subtriplus, si quater subquadruplus, et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub propositione nominabis, ut unus  [1100D] duorum subduplus, trium subtriplus, 4 subquadruplus appelletur, et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris, singulos per suas consequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque imparium sese sequentium duplices erunt, et hujus speculationis terminus non deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Horum ergo si primum sumas parem, id est 2, primi duplus erit, id est unitatis. Si vero sequentem parem, id est 4, secundi duplus est, id est duorum. Si vero tertium  [1101A] parem sumas, id est 6, tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii. Si vero quartum parem inspicias, id est 8, quarti numeri, id est quaternarii duplus est. Idemque in caeteris in infinitum sumentibus, sine aliquo impedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duo sunt ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum et duo, 3 sunt, qui triplus unius est. Rursus post 4 et 5, sunt 6, qui secundi numeri, id est duorum triplus est. Rursus post 6, sunt 7 et 8, et post hos 9, qui tertii numeri, id est ternarii triplus est. Atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum  [1101B] vero generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et 2 et 3, sunt 4, qui primi, id est unius, quadruplus est. Rursus si intermisero quinarium, senarium, et septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri, quadruplus est. At vero si post octo tres terminos intermisero, id est 9 et 10 et 11, duodenarius qui sequitur ternarii numeri quadruplus est. Atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adjectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim 4 intermittas, quincuplus invenitur, si quinque sexcuplus, si sex septuplus, semperque ipsius multiplicitatis nomine uno minus intermissionis vocabulo  [1101C] procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus 2, quadruplus 3, quincuplus 4. Et deinceps ad eumdem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt. Tripli vero, unus semper par terminus, impar alius invenitur. Quadrupli vero, rursus semper parem custodiunt quantitatem. Constituunturque a quarto numero, uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc 8 intermisso senario, post hunc 12 transmisso denario. Atque hoc idem in caeteris. Quincupli vero propositio, secundum triplicis similitudinem, alternatim paribus atque imparibus positis, ordinatur.



CAPUT XXIV. De superparticulari, ejusque speciebus, earumque generationibus.  [1101D] 

Superparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et partem ejus aliquam. Qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesquialter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, vocatur sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus. Atque his nominibus in infinitum duciis, in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et majores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesquialter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum majorum normam multitudinemque protenditur.  [1102A] Voco autem majores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo, ob eam rem quod ejusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesquialter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices. Comites vero, omnes post binarium naturaliter pares, hoc modo, ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur, et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium, et sit hoc modo:  (figura)   Primus igitur versus continet numerum naturalem,  [1102B] secundus ejus triplicem, tertius vero duplicem, atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia, id est sesquialtera proportio nascetur, tres enim habent intra se duo, et eorum mediam partem, id est 1, sex quoque continent intra se 4, et eorum medietatem, id est 2, et novem intra se senarium claudunt, et ejus mediam partem, id est 3, eodemque modo in caeteris. Dicendum vero si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione reperiat. Ac definitio quidem hujus comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus, habet eum semel et ejus tertiam  [1102C] partem; sed hi inveniuntur si, omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis, a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli, et sub eo tripli sint, supponatur sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti ejusdem primi versus tripli in ordinem dirigantur. (figura) Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si 4 tribus compares, habebunt in se 4, totum ternarium et ejus tertiam partem, id est  [1102D] 1, et si secundum secundo, id est octonarium senario compares, idem invenies: habebit enim octonarius senarium totum, et ejus tertiam partem, id est 2, et per eamdem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est quod 3 comites sunt, duces 4. Rursus 6 comites, duces 8, et in eodem ordine caeteri simili modo vocantur duces sesquitertii, comites subsesquitertii, et in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula.



CAPUT XXV. De quodam utili ad cognitionem superparticularibus accidente.

Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque  [1103A] comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt 1, tertii duos, quarti 3, et deinceps una semper minore quam ipsi sunt intermissione succrescunt. Atque hoc vel in sesquialteris, vel in sesquitertiis, vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus, post 3 enim mox 4 sunt. At vero 6 contra 8, in secundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter 6 enim et 8 solus est septenarius qui transmissus est numerus. Rursus ut 9 contra 12 comparemus, qui sunt in dispositione tertii, duorum mediorum est facta transmissio. Inter 9 enim et 12 sunt 10 et 11; secundum hunc modum quarta dispositio 3, quinta 4 intermittit.



CAPUT XXVI. Descriptio per quam docetur caeteris inaequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicem, et digestae formulae ratio et expositio.  [1103B] 

 [1104A] Quoniam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam, multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem, usque ad denarium numerum, continui numeri ordo naturalis, et secundo versu, duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad  [1104B] exercitationem mentis jocundissima. (figura)


CAPUT XXVII. Ratio atque expositio digestae formulae.  [1103C] 

Si igitur duo prima latera propositae formulae quae faciunt angulum, ab uno ad 10, et 10 procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum incipientes, in vigenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, ut duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum, quaternarii numerositate transcendat, ut 8 quaternarium, et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab 9 inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et  [1104C] hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per X litteram fiat. Hique se numeri superabunt secundum paritatis factam naturaliter connexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum 3, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis augescunt.

Quam rem nobis, scilicet, et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quantitate notatus est, et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per X litterae formam proportione collata, quadrupli multitudinem  [1105A] pernotabit. Hisque est ordinabilis super se progressio, ut primus primum tribus superet, ut 4 unitatem. Secundus secundum senario vincat, ut octo binarium. Tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species, usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione, superparticularis species requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus, sesquialter est, ut tres ad duo, vel sex  [1105B] ad quatuor, vel 9 ad 6, vel 12 ad 8. Itemque in caeteris qui sunt in eadem serie numeri, si talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo surripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundum, duobus tertius, tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad 3, vel 8 ad 6, et 12 ad 9, videsne ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces. Hoc autem in hac est dispositione  [1105C] divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est; unus enim semel, unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo 4 sunt. Ter 3 9, quos in semetipsas multiplicationes primi ordinis perfecere. Circum ipsos vero qui sunt, id est circum angulares, longilateri numeri sunt. Longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant. Circum 4 enim 2 sunt et 6, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris, sed unitas a binario unitate praeceditur. Sex vero a duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt. Novenarium vero, sex et 12 claudunt, qui 12 ex tribus nascuntur et 4. Ter enim 4 fiunt 12. Senarius  [1105D] vero, ex duobus et tribus, bis enim 3 faciunt 6. Qui omnes, uno majoribus lateribus procreati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, tres binarium numerum uno superant. Cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis, et bis medio tetragono, tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis, et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit. Et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero qui contra est tertia. Bini vero altrinsecus  [1106A] anguli, secundas habeant unitates, et duo angularium tetragonorum anguli, aequum faciunt quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possunt admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus.


CAPUT XXVIII. De tertia inaequalitatis specie quae dicitur superpartiens, deque speciebus ejus, earumque generationibus.

Igitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares, et eas quae sub ipsis sunt submultiplices et subsuperparticulares, tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec est autem, quae fit cum numerus  [1106B] ad alium comparatus, habet eum totum infra se, et ejus insuper aliquas partes, vel duas, vel 3, vel 4, vel quot ipsa tulerit comparatio. Quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis. Nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartiente componitur. Habebit autem vel duas tertias, vel duas quintas, vel duas septimas, vel duas nonas, et ita progredientibus si duas solas partes minoris numeri superhabuerit, per easdem partes imparibus numeris minorem major summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas ejus quartas, superparticularis necessario reperitur. Nam duae quartae medietas est, et fit sesquialtera comparatio. Si vero duas sextas, rursus est superparticularis. Duae enim sextae, pars tertia est. Quod si in  [1106C] comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur; hi autem sunt qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae, vel 3, vel 4, vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens, ejus duas partes habuerit, superbipartiens nominatur; si vero tres, supertripartiens; quod si 4, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quoties disponuntur a tribus omnes pares atque impares numeri naturaliter constituti, et sub his aptantur alii qui sunt a quinario numero incipientes omnes impares. His igitur ita dispositis, si primus primo, secundus secundo, tertius tertio, et caeteri caeteris comparentur,  [1106D] superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:  [Figura]   Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille qui vocatur superbipartiens. Habet enim quinarius totos in se tres, et eorum duas partes, id est 2. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur, atque in sequentibus per omnes dispositos numeros, omnes in infinitum species hujus numeri convenientes ordinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli procreentur, si in infinitum  [1107A] quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet 5, faciet 10; si tres, faciet 6: qui 10 contra senarium comparati, superbipartientem faciunt habitudinem, et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis accrescit. Idemque si in infinitum facies, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est 7 et 4 triplicabis, et hujusmodi nascentur. Si vero qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quod si superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur optes addiscere, primas eorum radices in quadruplum  [1107B] multiplices licet, id est 9 et 5, et eos qui illa multiplicatione proferentur, rursum in quadruplum, et eamdem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione reperies. Et caeterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco, numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur. In hoc quoque videndum est quoniam, cum duae partes minore plus in majoribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur. Ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbipartiens tertias. Et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus superquartis exuberat. Et  [1107C] superquadripartienti, subauditur superquadripartiens quintas, et ad eumdem modum in caeteris, uno semper adjecto super habitas partes, subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint, ut qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius. Qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producantur.



CAPUT XXIX. De multiplici superparticulari.

Igitur relatae ad aliquid quantitatis, simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae, ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices  [1107D] superparticulares, et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares, et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus, minores numeri, et eorum quoque species omnes, addita sub praepositione, dicuntur. Quorum definitio talis reddi potest: multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus, habet eum plus quam semel et ejus unam partem, hoc est, habet eum aut duplum, aut triplum, aut quadruplum, aut quotienslibet, et ejus quamlibet aliquam partem, vel mediam, vel tertiam, vel quartam, vel quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo et multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum  [1108A] numerum plus quam semel habet, multiplicis est. Hoc vero quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita ex utroque nomine facto vocabulo, est  speciesque illius ad illarum, scilicet, fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars hujus vocabuli quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est. Quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui vero tertiam, duplex sesquitertius; qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et ejus mediam partem, vel tertiam, vel  [1108B] quartam, dicitur triplex sesquialter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus, et eodem modo in caeteris. Diceturque quadruplus sesquialter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus, et quotiens totum numerum in semetipso continuerit, per multiplicis numeri species appellatur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla hujusmodi sunt: duplex sesquialter est, ut quinque ad duo, habent enim 5, binarium numerum bis et ejus mediam, id est 1. Duplex vero sesquitertius est, septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium, duplex sesquiquartus. Si vero 11 ad 5, duplex sesquiquintus. Et hi semper nascentur, dispositis  [1108C] in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus imparibusque terminis, si contra eos omnes a quinario numero impares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio, caute et diligenter apponas, ut sit dispositio talis: (figura)  Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis, illi qui a quinario numero inchoantes, quinario numero rursus sese transiliunt comparentur, omnes duplices sesquialteros creant, ut est subjecta descriptio.(figura)  Si vero a tribus inchoent dispositiones, et tribus sese transiliant, et ad eos aptentur qui a septenario inchoantes, septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii, habita diligenter comparatione, nascuntur, ut subjecta descriptio monet. (figura)


Si vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum, triumque et quatuor, atque quinarii, et caeterorum sese sequentium, ut ad eos aptentur a novenario numero inchoantes, semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texetur. (figura)


Ea vero species hujus numeri, quae est triplex sesquialtera, hoc modo procreatur; si disponantur a binario numero omnes in ordinem pares, et ad eos septenario numero inchoantes, septenario sese supergredientes, solito ad alterutrum modo comparationis aptentur. (figura)


Si autem a ternario numero ingressi, cunctos naturalis numeri triplices disponamus, et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum  [1109B] continuatione provenient. (figura)


CAPUT XXX. De eorum exemplis in superiore formula inveniendis.

Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denarium multiplicationum summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes qui sequuntur collati, ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Si vero ad  [1109C] secundum cunctos qui tertii sunt ordinis aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu compares, superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum hujus proportionis species procreabuntur. Manifestum autem etiam hoc est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesquialter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus, et caeteri quidem ad hunc modum.



CAPUT XXXI. De multiplici superpartiente.  [1109D] 

Multiplex vero superpartiens est, quoties numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel, et ejus vel duas, vel 3, vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam, non erunt duae medietates, neque duae quartae, neque duae sextae, sed duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, ad priorem similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum, hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi, secundum proprias partes, duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens. Et rursus triplex superbipartiens,  [1110A] et triplex supertripartiens, et triplex superquadripartiens, et similiter. Ut 8 ad 3 comparati faciunt duplicem superbipartientem, et 16 ad 6, et omnes quicunque ab 8 incipientes, octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos qui a tribus inchoantes, ternarii sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias ejus partes secundum praedictum modum diligentibus reperire. Hic quoque illud meminisse debemus quod minores et comites non sine sub praepositione nominantur, ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertripartiens.



CAPUT XXXII. Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit.

Restat autem nobis profundissimam quamdam  [1110B] tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scientiam cadens, animo que semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua. Infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii, tanquam aliquo signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligentia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas, temperata bonitate  [1110C] constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas, matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel tres bini, vel tres terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis evenit, idem contingit in caeteris. Ex his igitur, secundum praecepti nostri ordinem, videas primum nasci multiplices, et in his duplices prius dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus, multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem, sesquialteri, ex triplicibus sesquitertii, ex  [1110D] quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis, superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, et ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis, neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficientur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, duobus secundis et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes  [1111A] formas numeri multiplices explicabit. Jaceant igitur 3 termini aequales.  [Figura]   Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus. Secundus vero, primo et secundo, id est 2;
tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, qui sunt 4, ut est descriptio:  [Figura]   Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur. Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni; secundus primo et secundo,  [1111B] id est uni et duobus, qui sunt 3; tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est 4, et tertio, id est quatuor, qui simul 9 fiunt, et venit haec forma:  [Figura]   Rursus, si de triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus; sit secundus primo et secundo aequalis, id est 4; sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est 16.   [1111C] [Figura]   Et in caeteris quidem ad hanc formam, tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus, et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim 3 duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hujusmodi:  [Figura]   Et constituatur primo in hoc ordine, primus par, id est 4, secundus vero primo et secundo par, id est  [1111D] 6, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 9.  [Figura]   Ecce tibi illa sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim triplices superiores, converso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus:  [Figura]   Ponatur ergo primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 12; tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est 16.  [Figura]    [1112A] Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut monstrabit subjecta descriptio:  [Figura]   Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione  [1112B] nascentur. Disponantur igitur sic:  [Figura]   Superioris igitur descriptionis, primo primus aequus numerus ascribatur, id est 9, secundus vero primo et secundo, id est 15, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 25.  [Figura]   Si ergo sesquitertium eodem modo vertamus, ordo supertripartiens invenitur. Sit enim prima propositio sesquitertii.  [Figura]   Ponatur secundum priorem modum, primo par primus,  [1112C] id est 16; secundus primo et secundo, id est 28; tertius primo, duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet.  [Figura]   Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vides.  [Figura]   Restat quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices  [1112D] superpartientes nascantur, ostendere. Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo:  [Figura]   Ponatur secundum superiorem modum primo, primus aequalis, id est 4; secundus primo et secundo, id est 10; tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est 25.  [Figura]   Atque haec quidem duplex sesquialtera summa producta est. Si vero sesquitertium non conversum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subjecta descriptio docet.   [1113A] [Figura]   At vero si ad superpartientes animum convertamus, eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula:  [Figura]   Ascribatur ergo primus, primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 24; tertius primo, duobus secundis et tertio, id est 64.  [Figura]    [1114A] Videsne ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit. At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio tripartiens invenitur, ut in subjecta descriptione perspicuum est:  [Figura]   Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium, ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes, ab utilioribus moraremur.