[15,0] Règle quinzième.
Souvent il est bon de tracer ces figures, et de les montrer aux sens externes, pour tenir plus facilement notre esprit attentif.
Il apparaît de soi-même comment il faut les tracer, pour qu’au moment où elles frappent nos yeux leur figure se représente dans notre imagination. Nous pouvons peindre l’unité de trois manières, par un carré, si nous la considérons comme longue et large ; par une ligne —, si nous la considérons seulement comme longue ; et enfin par un point ., si nous ne l’examinons qu’en tant qu’elle sert à former la pluralité. Mais, de quelque manière qu’on la représente et qu’on la conçoive, nous comprendrons toujours qu’elle est un sujet étendu en tous sens, et capable d’une infinité de dimensions. De même, nous représenterons ainsi à l’œil les termes d’une proposition, lorsqu’il faudra en examiner à la fois les grandeurs diverses, par un rectangle dans lequel deux côtés seront les deux grandeurs proposées, de cette ma­nière, si elles sont commensurables avec l’unité ; ou de cette autre
ou de celle-ci , si elles sont commensurables, sans rien ajouter, à moins qu’il ne soit question d’une multitude d’unités. Si enfin nous n’examinons qu’une seule de leurs grandeurs, nous représenterons la ligne, soit par le rectangle, dont un des côtés sera la grandeur proposée, et l’autre l’unité de cette façon, ce qui se fait chaque fois que la même ligne doit être comparée avec une surface quelconque ; ou bien par la ligne seule —, si on la considère comme une longueur incommensurable ; ou de cette manière ....., si c’est une multitude d’unités.

[16,0] Règle seizième.
Quant à ce qui n’exige pas l’attention de l’esprit, quoique nécessaire pour la conclusion, il vaut mieux le désigner par de courtes notes que par des figures entières. Par ce moyen la mémoire ne pourra nous faire défaut, et cependant la pensée ne sera pas distraite, pour le retenir, des autres opérations auxquelles elle est occupée.
Au reste, comme, parmi les innombrables dimensions qui peuvent se figurer dans notre imagination, nous avons dit qu’on ne pouvait en embrasser plus de deux à la fois, d’un seul et même regard, soit des yeux, soit de l’esprit, il est bon de retenir toutes les autres assez exactement pour qu’elles puissent se présenter à nous toutes les fois que nous en aurons besoin. C’est dans ce but que la nature nous paraît avoir donné la mémoire ; mais comme elle est souvent sujette à faillir, et pour ne pas être obligés de donner une partie de notre attention à la renouveler, pendant que nous sommes occupés à d’autres pensées, l’art a fort à propos inventé l’écriture, à l’aide de laquelle, sans rien remettre à notre mémoire, et abandonnant notre imagination librement et sans partage aux idées qui l’occupent, nous confions au papier ce que nous voudrons retenir, et cela au moyen de courtes notes, de manière qu’après avoir examiné chaque chose séparément, d’après la règle neuvième, nous puissions, d’après la règle onzième, les parcourir tous par le mouvement rapide de la pensée, et en embrasser à la fois le plus grand nombre possible.
Ainsi tout ce qu’il faudra considérer comme l’unité, pour la solution de la question, nous le désignerons par une note unique, que l’on peut prendre arbitrairement. Mais pour plus de facilité, nous nous servirons des caractères a, b, c, etc., pour exprimer les grandeurs déjà connues, et A, B, C, pour les grandeurs inconnues, que nous ferons précéder des chiffres 1, 2, 3, 4, etc., pour en indiquer le nombre, et suivre des mêmes chiffres pour exprimer le nombre des relations qu’elles contiennent. Par exemple, si j’écris 2 a3, c’est comme si je disais, le double de la grandeur représentée par a, laquelle contient trois rapports. Par ce moyen, non seulement nous économiserons les mots, mais encore, ce qui est capital, nous présenterons les termes de la difficulté tellement nus et tellement dégagés, que même en n’oubliant rien d’utile, nous n’y laisserons cependant rien qui soit superflu, et qui occupe en vain la capacité de notre esprit quand il lui faudra 
embrasser plusieurs choses à la fois.
Pour rendre tout ceci plus clair, remarquez d’abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités, ou par un nombre quelconque, tandis que nous, nous ne faisons ici pas moins abstraction des nombres, que tout à l’heure des figures de géométrie ou de toute autre chose que ce soit. Nous le faisons dans le dessein, et d’éviter l’ennui d’un calcul long et superflu, et principalement de laisser toujours distinctes les parties du sujet dans lesquelles consiste la difficulté, sans les envelopper dans des nombres inutiles. Ainsi soit cherchée la base d’un triangle rectangle, dont les côtés donnés sont 9 et 12, un calculateur dira que c’est  ou 15. Pour nous, à la place de 9 et 12, nous mettrons a et b, et nous trouverons que la base est  ; ainsi reste­ront distinctes ces deux parties, a et b, qui dans le nombre sont confuses.
Il faut remarquer ensuite que, par nombre des relations, il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre continu, proportions que dans l’algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et figures, et dont on appelle la première racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième carré carré, mots qui, je l’avoue, m’ont longtemps trompé. Il me semblait en effet qu’on ne pouvait offrir à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et d’autres figures semblables. Elles me servoient même à résoudre bon nombre de difficultés ; mais enfin, après beaucoup d’expériences, je me suis aperçu que je n’avais rien trouvé par cette manière de concevoir que je n’eusse pu reconnaître plus facilement et plus distinctement sans elle ; qu’il fallait enfin repousser tous ces noms, de peur qu’ils ne troublassent notre conception, par la raison que la même grandeur, qu’on l’appelle cube ou carré carré, ne doit cependant jamais, d’après la règle précédente, se présenter à notre imagination que comme une ligne ou une surface. Il faut noter avant tout que la racine, le carré, le cube, ne sont que des grandeurs en proportion continue, que l’on suppose toujours précédées de cette unité d’emprunt dont nous avons déjà parlé. C’est à cette unité que la première proportionnelle se rapporte immédiatement, et par une relation unique ; la seconde, qui a pour intermédiaire la première, par deux relations ; la troisième, qui a pour intermédiaire la première et la seconde, par trois relations ; nous appellerons donc désormais première proportionnelle la grandeur qui, en algèbre, porte le nom de racine ; seconde proportionnelle, le carré ; et ainsi de suite.
Enfin, remarquons que, quoique nous croyions ici devoir abstraire de certains nombres les termes de la difficulté pour en examiner la nature, il arrive souvent qu’elle eût pu être résolue plus simplement avec les nombres donnés, que dégagée de ces nombres. Cela a lieu par le double usage des nombres, dont nous avons plus haut touché quelque chose ; c’est que les mêmes expliquent tantôt l’ordre, tantôt la mesure. Et partant, après avoir cherché la solution de la difficulté lorsque cette difficulté est exprimée par des termes généraux, il faut la rappeler aux nombres donnés, pour voir si par hasard ils ne nous donneraient pas eux-mêmes une solution plus simple. Par exemple, après avoir vu que la base d’un triangle rectangle dont les côtés sont a et b était, que pour a2 il fallait placer 81, et pour b2 144, qui, ajoutés l’un à l’autre, font 225, dont la racine ou la moyenne proportionnelle entre l’unité et 225 est 15 ; nous en concluons que la base 15 est commensurable avec les côtés 9 et 12, non généralement parceque c’est la base d’un triangle rectangle, dont un des côtés est à l’autre comme 3 à 4. Tout cela nous le distinguons, nous qui cherchons à avoir des choses une connaissance claire et nette ; mais les calculateurs ne s’en inquiètent pas, se contentant de rencontrer la somme cherchée, sans remarquer comment elle dépend des données, seul et unique point dans lequel consiste la science.
Enfin, il faut observer en général qu’il ne faut confier à sa mémoire rien de ce qui n’exige pas une attention perpétuelle, si l’on peut le déposer sur le papier, de peur que ce souvenir superflu ne dérobe une partie de notre esprit à la pensée de l’objet présent. Il faut dresser une table pour y écrire les termes de la question, telle qu’elle aura été proposée la première fois ; ensuite nous indiquerons comment on les abstrait, et par quels signes on les représente, afin que, quand les signes mêmes nous auront donné la solution, nous puissions l’appliquer sans aucun secours de notre mémoire au sujet particutier ; en effet, on ne peut abstraire une chose que d’une autre moins générale. J’écrirai donc de cette manière : on cherche la base A, C dans le triangle rectangle A, B, C ; et j’abstrais la difficulté pour chercher en général la grandeur de la base d’après la grandeur des côtés ; ensuite, au lieu de ab, qui égale 9, au lieu de bc, qui égale 12, je pose b.
et ainsi de reste.
Il faut noter en outre que ces quatre règles nous serviront encore dans la troisième partie de ce traité, mais prises dans une plus grande latitude qu’ici, comme il sera dit en son lieu.

[17,0] Règle dix-septième.
Il faut parcourir directement la difficulté proposée, en faisant abstraction de ce que quelques uns de ses termes sont connus et les autres inconnus, et en suivant, par la marche véritable, la mutuelle dépendance des unes et des autres.
Les quatre dernières règles ont appris comment les difficultés déterminées et parfaitement comprises doivent être abstraites de chaque sujet, et réduites au point qu’on n’ait plus rien à chercher que quelques grandeurs que l’on connaîtra, parcequ’elles se rapportent de telle ou telle façon à certaines données. Maintenant nous exposerons dans les cinq règles suivantes comment ces difficultés doivent être traitées, de façon que toutes les grandeurs inconnues, contenues dans une proportion, soient subordonnées les unes aux autres, et que le rang que la première occupe par rapport à l’unité, la seconde l’occupe à l’égard de la première, la troisième à l’égard de la seconde, la quatrième à l’égard de la troisième, et ainsi de suite, si le nombre va plus loin, pour qu’elles fassent une somme égale à une grandeur connue ; et tout cela par une méthode tellement certaine, que nous pouvons affirmer sûrement qu’aucun autre pro­cédé n’eût pu la réduire à des termes plus simples.
Mais quant à présent, il faut remarquer que, dans toute question à résoudre par déduction, il est une voie simple et directe par laquelle nous pouvons passer d’un terme à un autre avec la plus grande facilité, tandis que tous les autres chemins sont indirects et plus difficiles. Pour comprendre ceci, il suffit de se rappeler ce que nous avons dit à la règle XIe, où nous avons exposé quel est l’enchaînement des propositions, qui, comparées isolément, chacune avec la plus voisine, nous laissent facilement apercevoir comment la première et la dernière sont en rapport, encore bien que nous ne puissions pas aussi facilement déduire les intermédiaires des extrêmes. Maintenant, si nous considérons la dépendance de chacune entre elles, sans que l’ordre soit nulle part interrompu, pour conclure de là comment la dernière dépend de la première, nous parcourons directement la difficulté. Mais au contraire, si, de ce que nous savons que la première et la dernière sont jointes entre elles par une connexion quelconque, nous voulions en déduire les intermédiaires qui les unissent, ce serait suivre la marche indirecte et contraire à l’ordre naturel. Mais comme ici nous ne nous occupons que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut découvrir par une marche inverse, les extrêmes étant connus, certains termes intermédiaires, tout l’art en ce lieu doit consister à pouvoir, en supposant connu ce qui ne l’est pas, nous munir d’un moyen facile et direct de recherche même dans les difficultés les plus embarrassées ; et rien n’empêche que cela n’ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cette partie, que nous reconnaissons que les termes inconnus dans la question sont dans une mutuelle dépendance des termes connus, tellement qu’ils en sont parfaitement déterminés. Si donc nous réfléchissons aux choses qui se présentent d’abord aussitôt que nous reconnaissons cette détermination, et que nous les mettions, quoique inconnues, au nombre des choses connues, pour en déduire, graduellement et par la vraie route, le connu même comme s’il était inconnu, nous remplirons tout ce que cette règle exige. Nous en remettons les exemples, ainsi que d’autres choses dont nous avons à parler, à la règle vingt-quatrième, parceque ce sera mieux là leur place.

[18,0] Règle dix-huitième.
Pour cela il n’est besoin que de quatre opérations, l’addition, la soustraction, la multiplication et la division ; même les deux dernières n’ont souvent pas besoin d’être faites, tant pour ne rien embrasser inutilement, que parcequ’elles peuvent par la suite être plus facilement exécutées.
La multiplicité des règles vient souvent de l’ignorance des maîtres, et ce qui pourrait se réduire à un principe général unique est moins clair lorsqu’on le divise en plusieurs règles particulières. Aussi réduisons-nous sous quatre chefs seulement toutes les opérations dont nous avons besoin pour parcourir les questions, c’est-à-dire pour déduire les grandeurs les unes des autres. Comment ce nombre est-il suffisant ? c’est ce que l’explication de cette règle démontrera.
En effet, si nous parvenons à la connaissance d’une grandeur parceque nous avons les parties dont elle se compose, cela a lieu par l’addition ; si nous connaissons une partie parceque nous avons le tout et l’excédant du tout sur la partie, cela se fait par soustraction. Il n’y a pas d’autre moyen pour déduire une grandeur quelconque d’autres grandeurs prises absolument, et dans lesquelles elle est contenue de quelque manière que ce soit. Si au contraire une grandeur est intermédiaire entre d’autres, dont elle est entièrement distincte et qui ne la contiennent nullement, il faut l’y rapporter par quelque point ; et ce rapport, si c’est directement qu’on le cherche, on le trou­vera par la multiplication ; si c’est indirectement, par la division.
Pour éclaircir ces deux choses, il faut savoir que l’unité, dont nous avons déjà parlé, est ici la base et le fondement de tous les rapports, et que dans une série de grandeurs en proportion continue elle occupe le premier degré ; que les grandeurs données sont au second degré ; que dans le troisième, le quatrième et les autres sont les gran­deurs cherchées si la proportion est directe ; si au contraire elle est indirecte, l’inconnu est dans le second degré et dans les degrés intermédiaires, et le connu dans le dernier. Car si l’on dit, comme l’unité est à a ou à 5, nombre donné, ainsi b ou 7, nombre donné, est à l’inconnu, lequel est ab ou 35, alors a et b sont au second degré, et ab qui en est le produit est au troisième ; si l’on ajoute, comme l’unité est à c ou 9, ainsi ab ou 35 est à l’inconnu abc ou 315, alors abc est au quatrième de­gré, et le produit de deux multiplications d’ab et de c qui sont au second degré, et ainsi du reste. De même, comme l’unité est à a = 5, ainsi a = 5 est à a2 ou 25 ; et d’autre part, comme l’unité est à a = 5, ainsi a2 ou 25 est à a3 ou 125 ; et enfin, comme l’unité est à a = 5, ainsi a3 = 125 est a4 qui égale 625, etc. En effet, la multiplication ne se fait pas autrement, qu’on multiplie une même grandeur par elle-même, ou qu’on la multiplie par une autre qui en diffère entièrement.
Maintenant si l’on dit : comme l’unité est a = 5, diviseur donné, ainsi B ou 7 inconnu est à ab ou 35, dividende donné, l’ordre est renversé. Aussi B inconnu ne peut se trouver qu’en divisant ab par a donné aussi ; de même si l’on dit, comme l’unité est à a ou 5 inconnu, ainsi a ou 5 inconnu est à A2 ou 25 donné, ou encore comme l’unité est à A = 5 inconnu, ainsi A2 ou 25 cherché, est à A3 ou 125 donné, et ainsi de suite. Nous embrassons toutes ces opérations sous le titre de division, quoiqu’il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parceque souvent la grandeur cherchée y est contenue, laquelle par conséquent renferme plus de rapports. Car ces exemples reviennent à dire, qu’il faut ex­traire la racine carrée de a2 ou 25, ou le cube de a3 ou 125, et ainsi de suite. Cette manière de s’ex­primer, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des expressions des géomètres, à cette forme, qu’il faut chercher la moyenne 
proportionnelle, entre cette grandeur de laquelle on part, et que nous nommons unité, et celle que nous désignons par a2, ou les deux moyennes proportionnelles entre l’unité et a3, et ainsi des autres.
De là, on comprend facilement comment ces deux opérations suffisent pour faire trouver toutes les grandeurs, qui par un rapport quelconque doivent se déduire de certaines autres. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l’examen de l’imagination, et comment il faut les figurer aux yeux, pour ensuite en expliquer l’usage et la pra­tique.
S’il s’agit de faire une division, ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d’une ligne ou d’une grandeur étendue dans laquelle il ne faut considérer que la longueur. Car s’il faut ajouter la ligne a à la ligne  b, nous joindrons l’une à l’autre de cette manière, et nous aurons ab . Si au contraire il faut extraire la plus petite de la plus grande, par exemple b de a, nous les appliquons l’une sur l’autre ainsi, et nous avons la partie de la plus grande que la plus petite ne peut couvrir, à sa­voir . Dans la multiplication nous aurons aussi ces grandes données sous la forme de lignes ; mais nous imaginons qu’elles forment un rectangle, car si nous multiplions a par b, nous adoptons nos deux lignes à angle droit ab de cette manière, et nous avons le rectangle.
De plus, si nous voulons multiplier  par, il faut concevoir ab comme une ligne, savoir, pour avoir - pour abc. 
Enfin dans la division où le diviseur est donné, nous imaginons que la grandeur à diviser est un rectangle, dont un des côtés est diviseur et l’autre quotient. Ainsi soit le rectangle a  à diviser par, on ôte la largeur  et on a  pour quotient, ou au contraire si on divise par  on ôtera la largeur  et le quotient sera -.
Mais dans les divisions où le diviseur n’est pas donné, mais seulement indiqué par un rapport quelconque, comme quand on dit qu’il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes, comme des lignes existant dans une série de pro­portions continues, dont la première est l’unité, et la dernière la grandeur à diviser ; au reste, comment il faudra trouver entre cette dernière et l’unité toutes les moyennes proportionnelles, c’est ce qui sera dit en son lieu. Il suffit d’avertir que nous supposons de telles opérations non encore ache­vées ici, puisqu’elles ne peuvent avoir lieu que par une direction inverse et réfléchie de l’imagination, et que nous ne traitons ici que des opérations qui se font directement.
Quant aux autres opérations, elles sont très faciles à faire, de la manière dont nous avons dit qu’il faut les concevoir. Il reste cependant à ex­poser comment les termes en doivent être préparés ; car, encore bien qu’à la première apparition d’une difficulté nous soyons libres d’en concevoir les termes, comme des lignes ou des rectangles, sans jamais leur attribuer d’autres figures, ainsi qu’il a été dit règle XIVe, souvent cependant, dans le cours de l’opération, le rectangle une fois pro­duit par la multiplication de deux lignes doit être bientôt conçu comme une ligne pour l’usage d’une autre opération, ou bien le même rectangle, ou la ligne produite par une addition ou une soustrac­tion, doit être conçu comme un autre rectangle indiqué au dessus de la ligne par laquelle il doit être divisé.
Il est donc nécessaire d’exposer ici comment tout rectangle peut se transformer en une ligne, et, d’autre part, la ligne ou même le rectangle en un autre rectangle, dont le côté soit désigné ; cela est très aisé pour les géomètres pour peu qu’ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous les comparons, comme ici, avec un rectangle, nous concevons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. Ainsi tout se réduit à cette proposition-ci : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné.
Quoique cette opération soit familière aux moins avancés en géométrie, je l’exposerai cependant pour ne pas paraître avoir rien oublié.

[19,0] Règle dix-neuvième.
C’est par celle méthode qu’il faut chercher autant de grandeurs exprimées de deux manières dif­férentes que nous supposons connus de termes inconnus, pour parcourir directement la difficulté ; car, par ce moyen, nous aurons autant de comparaisons entre deux choses égales.

[20,0] Règle vingtième.
Après avoir trouvé les équations, il faut achever les opérations que nous avons omises, sans jamais employer la multiplication toutes les fois qu’il y aura lieu à division.
(Le reste manque.)