[15,0] REGULA XV. Iuuat etiam plerumque has figuras describere et sensibus exhibere externis, ut hac ratione facilius nostra cogitatio retineatur attenta. 1. Quomodo autem illae pingendae sint, ut distinctius, dum oculis ipsis proponentur, illarum species in imaginatione nostra formentur, per se est euidens: nam primo unitatem pingemus tribus modis, nempe per tum o, si attendamus ad illam ut longam et latam, uel per lineam, ——————— , si consideremus tantum ut longam, uel denique per punctum, l, si non aliud spectemus quam quod ex illa componatur multitudo; at quocumque modo pingatur et concipiatur, intelligemus semper eandem esse subiectum omnimode extensum et infinitarum dimensionum capax. Ita etiam terminos propositionis, si ad duas simul illorum magnitudines diuersas attendendum sit, oculis exhibebimus per rectangulum, cuius duo latera erunt duae magnitudines propositae hoc modo siquidem incommensurabiles sint cum unitate, uel hoc, siue hoc, si commensurabiles sint, nec amplius nisi de unitatum multitudine sit quaestio. Si denique ad unam tantum illorum magnitudinem attendamus, pingemus lineam uel per rectangulum, cuius unum latus sit magnitudo proposita, et aliud sit unitas, hoc modo, quod fit quoties eadem linea cum aliqua superficie est comparanda, uel per longitudinem solam, hoc pacto ———————, si spectetur tantum ut longitudo incommensurabilis, uel hoc pacto, l l l l l , si sit multitudo. [16,0] REGULA XVI. Quae uero praesentem mentis attentionem non requirunt, etiamsi ad conclusionem necessaria sint, illa melius est per breuissimas notas designare quam per integras figuras: ita enim memoria non poterit falli, nec tamen interim cogitatio distrahetur ad haec retinenda, dum aliis deducendis incumbit. 1. Caeterum quia non plures quam duas dimensiones diuersas, ex innumeris quae in phantasia nostra pingi possunt, uno et eodem, siue oculorum, siue mentis intuitu contemplandas esse diximus: operae pretium est alias omnes ita retinere, ut facile occurrant quoties usus exiget; in quem finem memoria uidetur a natura instituta. Sed quia haec saepe labilis est, et ne aliquam attentionis nostrae partem in eadem renouanda cogamur impendere, dum aliis cogitationibus incumbimus, aptissime scribendi usum ars adinuenit; cuius ope freti, hic nihil prorsus memoriae committemus, sed liberam et totam praesentibus ideis phantasiam relinquentes, quaecumque erunt retinenda in charta pingemus; idque per breuissimas notas, ut postquam singula distincte inspexerimus iuxta regulam nonam, possimus iuxta undecimam omnia celerrimo cogitationis motu percurrere et quamplurima simul intueri. 2. Quidquid ergo ut unum ad difficultatis solutionem erit spectandum, per unicam notam designabimus, quae fingi potest ad libitum. Sed facilitatis causa utemur characteribus a, b, c etc. ad magnitudines iam cognitas, et A, B, C etc. ad incognitas exprimendas, quibus saepe notas numerorum 2, 3, 4 etc. praefigemus ad illarum multitudinem explicandam, et iterum subiungemus ad numerum relationum, quae in iisdem erunt intelligendae: ut si scribam 2a3, idem erit ac si dicerem duplum magnitudinis notatae per litteram a, tres relationes continentis. Atque hac industria non modo multorum uerborum compendium faciemus, sed, quod praecipuum est, difficultatis terminos ita puros et nudos exhibebimus ut, etiamsi nihil utile omittatur, nihil tamen unquam in illis inueniatur superfluum, et quod frustra ingenii capacitatem occupet, dum plura simul erunt mente complectenda. 3. Quae omnia ut clarius intelligantur, primo aduertendum est, Logistas consueuisse singulas magnitudines per plures unitates, siue per aliquem numerum designare, nos autem hoc in loco non minus abstrahere ab ipsis numeris, quam paulo ante a figuris Geometricis, uel quauis alia re. Quod agimus, tum ut longae et superfluae supputationis taedium uitemus, tum praecipue, ut partes subiecti, quae ad difficultatis naturam pertinent, maneant semper distinctae, neque numeris inutilibus inuoluantur: ut si quaeratur basis trianguli rectanguli, cuius latera data sint 9 et 12, dicet Logista illam esse uel 15; nos uero pro 9 et 12 ponemus a et b, inueniemusque basim esse , manebuntque distinctae illae duae partes a2 et b2 , quae in numero sunt confusae. 4. Aduertendum est etiam, per numerum relationum intelligendas esse proportiones illas se continua serie subsequentes, quas alii in uulgari Algebra per plures dimensiones et figuras conantur exprimere, et quarum primam uocant radicem, secundam quadratum, tertiam cubum, quartam biquadratum, etc. A quibus nominibus me ipsum longo tempore deceptum fuisse confiteor: nihil enim uidebatur imaginationi meae clarius posse proponi post lineam et quadratum, quam cubus et aliae figurae ad harum similitudinem effictae; et non paucas quidem difficultates harum auxilio resoluebam. Sed tandem post multa experimenta deprehendi, me nihil unquam per istum concipiendi modum inuenisse, quod longe facilius et distinctius absque illo non potuissem agnoscere, atque omnino reiicienda esse talia nomina, ne conceptum turbent, quoniam eadem magnitudo, quamuis cubus uel biquadratum uocetur, nunquam tamen aliter quam ut linea uel superficies imaginationi est proponenda iuxta regulam praecedentem. Maxime igitur est notandum, radicem, quadratum, cubum, etc., nihil aliud esse quam magnitudines continue proportionales, quibus semper praeposita esse supponitur unitas illa assumptitia, de qua iam supra sumus locuti: ad quam unitatem prima proportionalis refertur immediate et per unicam relationem, secunda uero mediante prima, atque idcirco per duas relationes, tertia mediante prima et secunda, et per tres relationes, etc. Vocabimus ergo deinceps primam proportionalem magnitudinem illam, quae in Algebra dicitur radix, secundam proportionalem illam, quae dicitur quadratum, et ita de caeteris. 5. Denique aduertendum est, etiamsi hic a quibusdam numeris abstrahamus difficultatis terminos ad examinandam eius naturam, saepe tamen contingere, illam simpliciori modo resolui posse in numeris datis, quam si ab illis fuerit abstracta: quod fit per duplicem numerorum usum, quem iam ante attigimus, quia scilicet iidem explicant, modo ordinem, modo mensuram; ac proinde, postquam illam generalibus terminis expressam quaesiuimus, oportet eandem ad datos numeros reuocare, ut uideamus utrum forte aliquam simpliciorem solutionem nobis illi suppeditent: uer. gr., postquam basim trianguli rectanguli ex lateribus a et b uidimus esse , pro a2 ponendum est 81 et pro b2 144, quae addita sunt 225, cuius radix siue media proportionalis inter unitatem et 225 est 15; unde cognoscemus basim 15 esse commensurabilem lateribus 9 et 12, non generaliter ex eo quod sit basis rectanguli trianguli, cuius unum latus est ad aliud, ut 3 ad 4. Quae omnia distinguimus, nos qui rerum cognitionem euidentem et distinctam quaerimus, non autem Logistae, qui contenti sunt, si occurat illis summa quaesita, etiamsi non animaduertant quomodo eadem dependeat ex datis, in quo tamen uno scientia proprie consistit. 6. At uero generaliter obseruandum est, nulla unquam memoriae esse mandanda ex iis, quae perpetuam attentionem non requirunt, si possimus ea in charta deponere, ne scilicet aliquam ingenii nostri partem obiecti praesentis cognitioni superuacua recordatio surripiat; et index quidem faciendus est, in quo terminos quaestionis, ut prima uice erunt propositi, scribemus; deinde quomodo iidem abstrahantur, et per quas notas designentur, ut, postquam in ipsis notis solutio fuerit reperta, eamdem facile, sine ullo memoriae adiumento, ad subiectum particulare, de quo erit quaestio, applicemus; nihil enim unquam abstractum est nisi ex aliquo minus generali. Scribam igitur hoc modo: quaeritur basis AC in triangulo rectangulo ABC, et abstraho difficultatem, ut generaliter quaeratur magnitudo basis ex magnitudinibus laterum; deinde pro AB, quod est 9, pono a, pro BC, quod est 12, pono b, et sic de caeteris. A 9 B 12 C 15 7. Notandumque est, his quatuor regulis nos adhuc usuros in tertia parte huius tractatus, et paulo latius sumptis, quam hic fuerint explicatae, ut dicetur suo loco. [17,0] REGULA XVII. Proposita difficultas directe est percurrenda, abstrahendo ab eo quod quidam eius termini sint cogniti, alii incogniti, et mutuam singulorum ab aliis dependentiam per ueros discursus intuendo. 1. Superiores quatuor regulae docuerunt, quomodo determinatae difficultates et perfecte intellectae a singulis subiectis abstrahendae sint, et eo reducendae, ut nihil aliud quaeratur postea, quam magnitudines quaedam cognoscendae ex eo, quod per hanc uel illam habitudinem referantur ad quasdam datas. Iam uero in his quinque regulis sequentibus exponemus, quomodo eaedem difficultates ita sint subigendae, ut quotcumque erunt in una propositionc magnitudines ignotae sibi inuicem omnes subordinentur, et quemadmodum prima erit ad unitatem, ita secunda sit ad primam, tertia ad secundam, quarta ad tertiam, et sic consequenter, si tam multae sint, summam faciant aequalem magnitudini cuidam cognitae; idque methodo tam certa, ut hoc pacto tute asseramus, illas nulla industria ad simpliciores terminos reduci potuisse. 2. Quoad praesentem uero, notandum est, in omni quaestione per deductionem resoluenda quandam esse uiam planam et directam, per quam omnium facillime ex unis terminis ad alios transire possumus, caeteras autem omnes esse difficiliores et indirectas. Ad quod intelligendum, meminisse oportet eorum quae dicta sunt ad regulam undecimam, ubi exposuimus, qualis sit catenatio propositionum, quarum singulae si cum uicinis conferantur, facile percipimus, quomodo etiam prima et ultima se inuicem respiciant, etiamsi non tam facile ab extremis intermedias deducamus. Nunc igitur si dependentiam singularum ab inuicem, nullibi interrupto ordine, intueamur, ut inde inferamus quomodo ultima a prima dependeat, difficultatem directe percurremus; sed contra si ex eo, quod primam et ultimam certo modo inter se connexas esse cognoscemus, uellemus deducere quales sint mediae quae illas coniungunt, tunc omnino ordinem indirectum et praeposterum sequeremur. Quia uero hic uersamur tantum circa quaestiones inuolutas, in quibus scilicet ab extremis cognitis quaedam intermedia turbato ordine sunt cognoscenda, totum huius loci artificium consistet in eo, quod ignota pro cognitis supponendo possimus facilem et directam quaerendi uiam nobis praeparare, etiam in difficultatibus quantumcumque intricatis; neque quicquam impedit quominus id semper fiat, cum supposuerimus ab initio huius partis, nos agnoscere eorum, quae in quaestione sunt ignota, talem esse dependentiam a cognitis, ut plane ab illis sint determinata, adeo ut si reflectamus ad illa ipsa, quae primum occurrunt, dum illam determinationem agnoscimus, et eadem licet ignota inter cognita numeremus, ut ex illis gradatim et per ueros discursus caetera omnia etiam cognita, quasi essent ignota, deducamus, totum id quod haec regula praecipit, exequemur: cuius rei exempla, ut etiam plurimorum ex iis quae deinceps sumus dicturi, ad regulam uicesimamquartam reseruamus, quoniam ibi commodius exponentur. [18,0] REGULA XVIII. Ad hoc quatuor tantum operationes requiruntur, additio, subtractio, multiplicatio, et diuisio, ex quibus duae ultimae saepe hic non sunt absoluendae, tum ne quid temere inuoluatur, tum quia facilius postea perfici possunt. 1. Multitudo regularum saepe ex Doctoris imperitia procedit, et quae ad unicum generale praeceptum possent reduci, minus perspicua sunt si in multa particularia diuidantur: quamobrem hic nos operationes omnes, quibus utendum est in quaestionibus percurrendis, id est, in quibusdam magnitudinibus ex aliis deducendis, ad quatuor tantum capita redigimus; quae quomodo sufficiant, ex ipsorum explicatione cognoscetur. 2. Nempe si ad unius magnitudinis cognitionem perueniamus, ex eo quod habemus partes ex quibus componitur, id fit per additionem; si agnoscamus partem ex eo quod habemus totum, et excessum totius supra eandem partem, hoc fit per subtractionem; neque pluribus modis aliqua magnitudo ex aliis absolute sumptis, et in quibus aliquo modo contineatur, potest deduci. Si uero aliqua inuenienda sit ex aliis a quibus sit plane diuersa, et in quibus nullo modo contineatur, necesse est ut ad illas aliqua ratione referatur; atque haec relatio siue habitudo, si sit directe persequenda, tunc utendum est multiplicatione, si indirecte, diuisione. 3. Quae duo ut clare exponantur, sciendum est unitatem, de qua iam sumus locuti, hic esse basim et fundamentum omnium relationum, atque in serie magnitudinum continue proportionalium primum gradum occupare, datas autem magnitudines in secundo gradu contineri, et in tertio, quarto, et reliquis quaesitas, si propositio sit directa; si uero indirecta, quaesitam in secundo et aliis intermediis gradibus contineri, et datam in ultimo. 4. Nam si dicatur, ut unitas ad a uel ad 5 datam, ita b siue 7 data ad quaesitam, quae est ab uel 35, tunc a et b sunt in secundo gradu, et ab, quae producitur ex illis, in tertio. Item si addatur, ut unitas ad c uel 9, ita ab uel 35 ad quaesitam abc uel 315, tunc abc est in quarto gradu, et generatur per duas multiplicationes ex a, b, et c, quae sunt in secundo gradu, et sic de reliquis. Item, ut unitas ad a uel 5, ita a uel 5 ad a2 siue 25; et rursum, ut unitas ad a uel 5, ita a2 uel 25 ad a3 uel 125; et denique, ut unitas ad a uel 5, sic a3 uel 125 ad a4 quod est 625, etc.: neque enim aliter fit multiplicatio, si eadem magnitudo ducatur per se ipsam, quam si per aliam plane diuersam duceretur. 5. Iam uero si dicatur, ut unitas ad a uel 5 datum diuisorem, ita B uel 7 quaesita ad ab uel 35 datum diuidendum, tunc est ordo turbatus et indirectus: quapropter B quaesita non habetur, nisi diuidendo ab datam per a etiam datam. Item, si dicatur, ut unitas ad A uel 5 quaesitam, ita A uel 5 quaesita ad a2 uel 25 datam; siue, ut unitas ad A uel 5 quaesitam, sic A2 uel 25 etiam quaesita ad a3 uel 125 datam; et sic de caeteris. Haec omnia complectimur sub nomine diuisionis, quamuis notandum sit has posteriores huius species maiorem continere difficultatem quam priores, quia saepius in illis reperitur magnitudo quaesita, quae proinde plures relationes inuoluit. Idem enim est horum exemplorum sensus, ac si diceretur extrahendam esse radicem quadratam ex a2 siue 25, uel cubicam ex a3 siue ex 125, et sic de caeteris; qui mos loquendi est apud Logistas usitatus. Vel ut etiam Geometrarum terminis illas explicemus, idem est ac si diceretur inueniendam esse mediam proportionalem inter magnitudinem illam assumptitiam, quam unitatem appellamus, et illam quae designatur per a2, uel duas medias proportionales inter unitatem et a3, et ita de aliis. 6. Ex quibus facile colligitur, quomodo hae duae operationes sufficiant ad magnitudines quascumque inueniendas, quae propter aliquam relationem ex aliis sint deducendae. Atque his intellectis, sequitur ut exponamus quomodo hae operationes ad imaginationis examina sint reuocandae, et quomodo eliam ipsis oculis exhibendae, ut tandem postea illarum usum siue praxim explicemus. 7. Si additio uel subtractio faciendae sint, concipimus subiectum sub ratione lineae, siue sub ratione magnitudinis extensae, in qua sola longitudo est spectanda: nam si addenda sit linea a ad lineam b, a b unam alteri adiungimus hoc modo ab, a b et producitur c. c Si autem minor ex maiori tollenda sit, nempe b ex a, a b unam supra aliam applicamus hoc modo, a b et ita habetur illa pars maioris quae a minori tegi non potest, nempe: In multiplicatione concipimus etiam magnitudines datas sub ratione linearum; sed ex illis rectangulum fieri imaginamur: nam si multiplicamus a per b, a b unam alteri aptamus ad angulos rectos hoc modo, a b et fit rectangulum; a b iterum si uelimus multiplicare ab per c, c oportet concipere ab ut lineam, nempe, ab ab c ut fiat pro abc: Denique in diuisione, in qua diuisor est datus, magnitudinem; diuidendam imaginamur esse rectangulum, cuius unum latus est diuisor, et aliud est quotiens: ut si rectangulum ab diuidendum sit per a, a b tollitur ab illo altitudo a remanet b pro quotiente; b uel contra, si idem diuidatur per b, tolletur latitudo b et quotiens erit a. a 8. In illis autem diuisionibus, in quibus diuisor non est datus, sed tantum per aliquam relationem designatus, ut cum dicitur extrahendam esse radicem quadratam uel cubicam etc., tunc notandum est, terminum diuidendum et alios omnes semper concipiendos esse ut lineas in serie continue proportionalium existentes, quarum prima est unitas, et ultima est magnitudo diuidenda. Quomodo autem inter hanc et unitatem quotcumque mediae proportionales inueniendae sint, dicetur suo loco; et iam monuisse sufficit, nos supponere tales operationes hic nondum absolui, cum per motus imaginationis indirectos et reflexos faciendae sunt; et nunc agemus tantum de quaestionibus directe percurrendis. 9. Quod attinet ad alias operationes, facillime quidem absolui possunt eo modo, quo illas concipiendas esse diximus. Superest tamen exponendum, quomodo illarurri termini sint praeparandi: nam etiamsi, cum primum uersamur circa aliquam difficultatem, nobis liberum sit eius terminos concipere ut lineas, uel ut rectangula, nec alias unquam figuras illis tribuamus, ut dictum est ad regulam decimam quartam, frequenter tamen in decursu rectangulum, postquam ex duarum linearum multiplicatione fuit productum, mox concipiendum est ut linea, ad aliam operationem faciendam; uel idem rectangulum aut linea ex aliqua additione aut subtractione producta mox concipienda est ut aliud quoddam rectangulum supra lineam designatam, per quam est diuidendum. 10. Est igitur operae pretium hic exponere, quomodo omne rectangulum possit in lineam transformari, et uicissim linea aut etiam rectangulum in aliud rectangulum, cuius latus sit designatum; quod facillimum est Geometris, modo animaduertant per lineas, quoties illas cum aliquo rectangulo comparamus, ut hoc in loco, nos semper concipere rectangula, quorum unum latus est longitudo illa, quam pro unitate assumpsimus. Ita enim totum hoc negotium ad talem propositionem reducitur: dato rectangulo aliud aequale construere supra datum latus. 11. Quod etiamsi uel Geometrarum pueris sit tritum, placet tamen exponere, ne quid uidear omisisse. [19,0] REGULA XIX. Per hanc ratiocinandi methodum quaerendae sunt tot magnitudines duobus modis differentibus expressae, quot ad difficultatem directe percurrendam terminos incognitos pro cognitis supponimus: ita enim tot comparationes inter duo aequalia habebuntur. [20,0] REGULA XX. Inuentis aequationibus, operationes, quas omisimus, sunt perficiendae, multiplicatione nunquam utendo, quoties diuisioni erit locus.